文档内容：
[Part 1]
由於 DirectX 8 的推出，許多和 3D 相關的討論，也就轉移到 DirectX 8 的 pixel shader 上面。DirectX 8 的 pixel shader 功能相當強大，不過，到目前為止（12/2000），市面上還沒有任何顯示晶片是支援 DirectX 8 pixel shader 的。但是，這並不表示現在的顯示晶片就沒辦法支援 per pixel lighting，只不過，現在的顯示晶片所能表現的效果有限而已。
倒底什麼是 Per Pixel Lighting？簡單的說，就是指 lighting （即打光）的運算是以 pixel（即像點）為單位來做的，而不是以 vertex（即頂點）為單位。如果還不清楚的話，請記得 pixel 是指螢幕上形成畫面的最小單位的小點；而 vertex 則是指多邊形的頂點。舉個例子來說，一個三角形有三個頂點，但是畫在螢幕上的時候，它可能會包含很多個像點。所以，很明顯的，以像點為單位來計算打光的動作，比用頂點為單位，要來得精確得多；但是，它的運算量當然也大得多。
目前絕大部分的 3D 遊戲，在 dynamic lighting（動態打光，指光源可以任意移動的情形）的時候，都還是使用 per vertex lighting，也就是以頂點為單位的打光方式。如果是 static lighting，即光源不能移動的情形，則可以使用 light map 的方式來達到 per pixel lighting 的目的。Per vertex lighting 的方式，是在三角面的頂點上計算出打光的結果，而在繪製三角面的內部時，則是利用內插的方式來產生結果。如果三角面都不太大，這樣做的效果還算好。不過，如果三角面很大的話，那就不太好了。而且，這種內插的方式，會產生一種稱為 Mach band effect 的現象。下面是一些例子：
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Per vertex lighting - 使用 6 個三角面 |
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Per vertex lighting - 使用 54 個三角面 |
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Per vertex lighting - 使用 600 個三角面 |
上面的三張圖，是由一個點光源來打光，打在三個互相垂直的平面上，且都是使用 per vertex lighting。在最上面的圖中，每個平面是由兩個三角面組成的。所以，每個平面只有四個頂點（兩個三角面共用兩個頂點）。這樣打光的效果很差，根本看不出有什麼效果。這是因為頂點的數目太少了。
在中間的圖，情形完全一樣，但是每個平面切成 9 個小正方形，共 18 個三角面。所以，每個平面有 16 個頂點。可以看得出來，打光的效果比上面的圖要好一些。但是三角面相接的地方卻變得很明顯。這就是 Mach band effect，是相當討厭的問題。會產生這個問題，主要是因為三角面內部是用內插的方式繪製的，所以三角面內部的亮度變化，就會比三角面相接處的亮度變化還小。而人的眼睛對亮度變化較大的地方，比變化小的地方更為敏感，所以才會使三角面相接的地方變得這麼明顯。
如果再增加頂點的數目，就會得到最下面的圖。最下面的圖是把每個平面切成 100 個小正方形，共 200 個三角面。所以每個平面共有 121 個頂點。因為三角面的數目非常多，所以每個三角面都很小，在這張圖中可能只包含不到 10 個像點。所以，它的效果會非常接近 per pixel lighting 的結果。和上面的圖相比，可以發現 Mach band effect 幾乎已經完全消失了，不過，若仔細看應該還是可以看到一些。
也許有人會認為，如果把頂點的數目增多，就可以達到接近 per pixel lighting 的效果，那何必還要 per pixel lighting 呢？就某些情形來說，這是對的。但是，對一般的情形來說，就沒有這麼順利了。因為觀察者的位置和光源的位置都很接近，所以當光源和觀察者都很接近某個平面時，它就需要更多的頂點。所以，這就需要動態計算需要的頂點個數。再加上，頂點的數目增加，就會讓 CPU 的運算量，也增加 bus 的負擔。
如果顯示晶片本身就有進行 per pixel lighting 的能力的話，根本就不需要增加三角面的個數，就可以達到很好的打光效果。不過，要達到完整的 per pixel lighting，需要支援 DirectX 8 pixel shader 的顯示晶片才行。但是，以目前一般的顯示晶片，只要支援 DOT_PRODUCT3 這個功能，還是做到某個程度的 per pixel lighting 的。
後面將會提到利用 DOT_PRODUCT3 來產生 per pixel lighting 的方法。
[Part 2]
要怎麼做到 per pixel lighting 的效果呢？基本上，這需要兩樣工具：第一樣是 DOT_PRODUCT3，另一樣是 cubic environment map。如果你不知道這些是什麼東西，也沒關係，因為後面會解釋到。
要做 per pixel lighting，首先複習一下 local lighting 的做法好了……基本上不管是用什麼形式的 local lighting，它都會有這樣的形式：
亮度 = ambient + diffuse + specular + emission
Ambient 是指環境光。因為在 local lighting 的模型中，我們只考慮到光源對物體的直接影響。所以，有很多東西是沒辦法處理到的。最常見的情形，就是物體背對光源的部分，在實際世界中，並不是全黑的。這是因為，光源對其它物體的散射光，也會照亮這些部分，只不過強度很弱而已。為了模擬這種情形，可以做一個很簡單的假設：散射光是由四面八方均勻射入。因此，它照射在物體上，其中一部分被物體吸收後，未被吸收的部分，會均勻向四面八方反射出去。因此，對觀察者來說，不論物體的位置在什麼地方，所得到的反射光強度都是一樣的。所以，結果就是：
ambient = [物體的 ambient color] × [光源的 ambient 強度]
Diffuse 是指物體在光源下的實際表現。除了極少數的物體，像是磨得很亮的金屬、玻璃等會完全反射入射光的物體外，大部分的物體，在大部分的情形下會散射入射光，所以叫 diffuse。為什麼物體會散射入射光呢？這是因為物體的表面往往是粗糙的，而粗糙的表面就會散射入射光。由於光是散射的，所以無論觀察者在哪裡，看到的散射光強度都一樣。不過，散射光的強度又是如何呢？在這裡，有一個很常用的模型稱為 Lambertian model。這個 model 認為物體散射光的強度，和入射光的關係是：
散射光強度 = [物體表面的法向量] ‧ [入射光的向量]
也就是兩個向量的內積。有一點很重要，就是這兩個向量都是 normalized，即正規化，所以長度都是 1。另外，如果物體的法向量是背對光源，那散射光的強度當然會是 0。所以，比較正確的寫法是：
散射光強度 = max(0, [物體表面的法向量] ‧ [入射光的向量])
再加上物體本身所吸收的一些入射光，就變成：
diffuse = [物體的 diffuse color] × [入射光的 diffuse 強度] × max(0, [物體表面的法向量] ‧ [入射光的向量])
再來是 specular。Specular 是當入射光對物體產生全反射的情形。如果觀察者的角度十分剛好，就會產生這種現象。隨便看周圍的一個物體，只要它不是非常粗糙，就可以看到它的某些部分是直接反射光源的顏色，而和它本身的顏色無關。這就是 specular 的部分。要怎麼做出 specular 的效果呢？基本上有很多種不同的模型，分別適用在不同的情形。不過，最常見的有兩種：Phong model 和 Blinn model。不過，因為它們有點複雜，所以在這裡就不多作說明了。基本上，只要記住一個重要的性質就可以：「specular 的顏色和物體的顏色無關」，和 「specular 的亮度和光源、物體、及觀察者的位置都有關係」。第一點很容易，因為它是全反射，當然就不會被物體吸收，所以不會被物體的顏色所影響。不過，為了處理某些特別的情形，通常我們還是會給物體一個 specular color，不過通常是白色。第二點則比較不是這麼明顯，不過，是否能看到全反射，會和入射光的角度及觀察者的角度有關，應該也不會太難理解。
最後是 emission。這是指會發光的物體，自己所產生的光。這個項目很無趣，因為它和入射光完全沒關係，就是一個「物體所產生的光」。所以，一般情形下是：
emission = [物體的 emission color]
比 ambient 更無趣，對吧！ :)
綜觀上面的四個大項目，可以看出最複雜的部分就是 specular。Emission 通常很少用，因為一般很少會需要自體發光的物體，而且它也很簡單。Ambient 和 diffuse 則十分重要，但也不至於太複雜。之前我們所提到的 per vertex lighting，就是在三角面的各個頂點進行上面的計算。而我們要做的 per pixel lighting，當然就是要在每個像點上都進行這樣的計算了。
不過，這些光源的計算，其計算量是很大的。首先，需要計算出物體表面在該像點上的法向量。一般來說，都是由三角面的三個頂點的法向量，內插而得。不過，內插得到的法向量，還需要做 normalize 的動作才行。得到法向量後，還需要計算入射光的向量。對於 directional light（即只具有方向性的光源，例如非常遠的光源，像是太陽），這倒是不難，因為對任何地方，入射光的向量都一樣，而且光的強度也一樣。但是，對於 point light（點光源）就不同了，要計算入射光的向量，就得把光源位置減去物體表面的位置（即該像點在空間中的位置），最後還需要 normalize。另外，point light 有時還會有 attenuation（即衰減），這也需要計算，才能得到入射光的強度。最後才是到實際計算反射光強度的部分，也就是上面提到的公式。其中 ambient 和 diffuse 還算好解決，但是 specular 就麻煩了。像是 Phong model 和 Blinn model 都包含相當複雜的運算。所以，這麼多運算，要對每個像點去做，似乎是不太可能的事。甚至，就算是對每個頂點去做，也都還嫌太多了。
不過，如果這是不可能做到的，就不會有這篇文章了。當然，要做到完整且精確的打光計算，確實是不太可能的。以 specular 來說，就很難做到精確，因為它的計算量實在是太大了。不過，如果我們可以接受一些誤差，讓一些影響不是這麼大的動作，只在頂點進行，有些地方使用內插或是查表的方式，這樣還是可以得到相當不錯的結果的。下面的圖就是把前一頁中的 per vertex lighting 使用較為不精確的 per pixel lighting 打光所得到的結果：
這張圖是使用 6 個三角面。和前一頁的 vertex lighting 相比，同樣是使用 6 個三角面，但是即使是粗糙的 per pixel lighting 還是比 vertex lighting 更加精確得多。不過，因為上圖沒有加入 attenuation 的因子，所以它比 vertex lighting 的結果要亮一些。另外，應該也可以看出這個 per pixel lighting 並不是非常精確，因為它的結果並不如使用 600 個三角面的 vertex lighting（已經非常接近真正 per pixel lighting）的結果。
上面的例子中，是使用點光源。在後面我們會先用較為簡單的 directional light 開始，介紹如何利用 Direct3D 8 配合一般的 3D 加速硬體，來達到 per pixel lighting 的效果。
[Part 3]
在上一頁的討論中，我們知道在 local lighting 的 model 中，打光的效果基本上是由觀察者的位置、物體相對於光源的位置、和物體的表面法向量這三者所決定的。基本上這有點複雜。為了簡化問題，我們可以先只考慮 ambient 和 diffuse。因為在一般的光源下，大部分物體的顏色有很大部分是由這兩者決定的。而 ambient 和 diffuse 又和觀察者的位置無關，所以處理起來就容易得多。
再來，我們還要把問題更加簡化：使用 directional light（即平行光源）。什麼是 directional light？基本上，directional light 的一個重要特性就是，無論物體的位置在哪裡，光源的方向都是一致的，也就是平行的，所以才會稱為平行光源。當然，真實世界中並沒有所謂的平行光源，所有的光源都應該是來自某個點，或是某個區域。不過，如果光源的位置非常的遠，它的表現就會很類似平行光。最簡單的例子就是太陽光。所以，使用平行光的模式來處理太陽光，是很適合的。
現在來看看在 directional light 下，ambient 和 diffuse 會有什麼性質。首先，ambient 和光源的位置是無關的，所以在 directional light 下也是一樣。而 diffuse 就比較有趣了。由於 diffuse 是由「光源方向」和「法向量」的內積求得，而在 directional light 下，光源方向又是常數（對所有的 pixel 來說），所以 diffuse 就等於是物體表面的法向量的函數，姑且就稱之為 "diffuse 函數" 吧！
現在要做的是 per pixel lighting。所以，簡單的說，就是要對每個 pixel，以它的法向量求出 "diffuse 函數" 的值。在 3D 繪圖中，函數很容易解決：用貼圖就可以了。因為，貼圖等於是一個「內插＋查表」的動作，所以可以想成：在頂點指定貼圖座標為法向量，則三角形內部的顏色就是三個頂點的法向量的內插，再查表的結果。不過，現在大部分的顯示晶片都只支援平面的貼圖，所以只是二維向量的函數。可是，法向量卻是三維向量，那要怎麼辦呢？難道一定要有三維貼圖嗎？答案當然是否定的。因為在 diffuse 的公式中，有一點非常重要：法向量需是正規化的。所以，這表示法向量的長度並不會影響 "diffuse 函數" 的值，也就是說，原來有三個自由度的法向量，就變成只有兩個自由度了。
眼尖的讀者可能已經看出來，這個問題就和地圖的投影是同樣的。因為單位長度的法向量會形成一個球，所以 "diffuse" 函數的空間是在一個球上。若想要用平面的貼圖來表示這個函數，就需要一個投影的方法，把球面投影到平面上。不幸的是，不管是什麼投影方法，都會引進某種形式的奇異點（singularity），而且解析度也會在不同的地方，產生不同的扭曲現象。
在 3D 繪圖中，有一種專門的方法，用來處理這種和法向量有關的貼圖，就是 environment mapping（環境貼圖）。環境貼圖常常用來表現出物體反射周圍環境的現象。在這裡，我們遇到是同樣的問題，所以可以直接應用 environment mapping。不過，傳統上經常使用的 spherical environment mapping（球形環境貼圖），就是試圖把一個球面投影到平面上，因此會產生 singularity。在一般情形下，這個 singularity 並不是個問題，因為它總是背對者觀察者。但是，如果觀察者的位置改變，那這個 singularity 就會跑出來了。另外，spherical environment mapping 也和前面所提到的一樣，會有解析度扭曲的問題。
所以，基本上，spherical environment mapping 是不能用的。當然，如果有興趣的話，也可以試試使用其它的投影方式，例如 Gall's stereographic cylindrical projection。不過，這些投影方法通常都會有些問題，像是：觀察者不能動、有 singularity、嚴重的解析度扭曲情形、或是計算過於複雜。
另一個方法，是不要把它投影到一個平面，而是把它投影到六個平面。也就是說，用一個立方體包住球體。這樣一來，球體的每個面都能兼顧，不會有 singularity 的問題，解析度扭曲的情形也不會太嚴重。更重要的是，它可以轉，所以觀察者的位置可以改變。這樣的做法，就稱為 cubic environment mapping。不幸的是，目前有支援這個功能的顯示晶片並不多。
使用 cubic environment mapping 就可以做到 "diffuse 函數" 的功能。不過，現在還有一個問題：當物體移動位置時，光源相對物體的方向就會改變，"diffuse 函數" 當然也就改變了。可是總不能在光源或物體改變方向或位置時，就重新產生一個貼圖吧！這樣的工作量會非常大，而失去意義。不過，注意 diffuse 的計算方式：
diffuse 函數 = max(N．L, 0)
若光源相對物體改變了方向，例如 L 變成 RL（R 是一個 3x3 矩陣），那就會變成：
diffuse 函數 = max(N．RL, 0) = max(NTRL, 0) = max(L．RTN, 0)
也就是說，這樣就可以固定住光源，只要轉動法向量就可以了。所以，只要選定一個光源的方向，算出相對的 cubic environment map，如果光源的方向改變，就不需要重新計算這個 cubic environment map，只需要改變物體的法向量就可以了。
說了這麼多，理論上的東西已經差不多了。接下來就以一個簡單的例子，來說明這個做法的細節。
[Part 4]
上一頁中，已經把理論的部分說明得差不多了。這裡則會開始討論實作的細節部分。
首先，先來看看我們的例子：光源是 directional light，物體則是一個「膠囊」，並有貼圖。如下圖所示：
這個物體的三角面數目並不多。基本上，它的橫切面是八邊形，而兩端的球形部分則各切成四段。所以，整個算起來有 128 個三角面。這個圖並不大，但是已經可以看到討厭的 Mach band effect。另外，還有一些 color bleeding 的現象，也就是在應該是背光的地方，卻因為內插的關係，而顯得過亮了。相反的，也有一些地方應該是面對著光源，卻顯得過暗。
現在把前一頁所討論的方法，用在同樣的東西上面。得到的結果變成：
看起來好多了。不過，雖然在討論理論的部分，看起來並不會太複雜，但是實際上的 3D 硬體是有限制的，所以並沒有這麼容易。
無論如何，要做到這樣的 per pixel lighting，最重要的是產生 "diffuse 函數"，也就是用來查出 diffuse 亮度的 cubic environment map。為了簡單起見，可以把光源的方向定為 <0, 0, 1>，在 Direct3D 的座標系中，是朝向螢幕的方向的光源。
再來是產生 cubic environment map。產生的方法很簡單：對 cubic environment map 的六張貼圖，對其每個 texel 算出相對應的法向量後，把這個法向量 normalize，再把它和 <0, 0, 1> 求內積（就是取其 Z 的部分）。若結果小於 0，則設為 0。最後，把該 texel 的 RGB 三個 components 都設成計算的結果就可以了。
不過，實際上是會有很多麻煩的。首先，是貼圖的格式。各種顯示晶片支援的貼圖格式可能都會不太一樣。以 DirectX 8 所支援的格式來看，就有 32 bits、24 bits、16 bits、8 bits 等等許多不同的格式，而且像是 32 bits 就有兩種不同的格式，而 16 bits 有更多不同的組合方式。所以要處理這些東西是很麻煩的。為了避免這種問題，一個比較簡單的方法，是把 cubic environment map 分成六個不同的 BMP 檔案，再用 DirectX 8 SDK 的 Texture Tool 把它們組合成一個單一的貼圖檔（DDS 檔）。這樣一來，就可以在程式中用 D3DXCreateCubeTextureFromFile 這個函式來讀取這個貼圖檔。這個函式會自動處理各種不同的貼圖格式，所以相當方便。
下圖是一個產生好的 "diffuse 函數" 的例子：
如果不想自己寫程式來產生這個 cubic environment map 的話，也可以從這裡下載。這是光源方向為 <0, 0, 1> 大小為 128x128 的 cubic environment map。
把 "diffuse 函數" 弄好之後，再來就是計算打光效果的部分了。不過，物體的 3D 模型還需要一些準備。基本上，因為 Direct3D 的自動產生貼圖座標的功能中，並沒有「複製法向量」的功能，所以只好自己指定一組三維的貼圖座標，並把它們設定成和各個頂點的法向量相同。當物體在世界座標系中有移動時，把移動的矩陣設定成貼圖座標轉換的矩陣就可以了。如果光源有轉動，則把光源轉動的矩陣做轉置，再乘到貼圖座標的轉換矩陣上。這樣 3D 模型的部分就算是準備好了。
接下來就是繪製結果了。首先是 ambient 部分，這部分很簡單，把光源的 ambient 顏色和物體的 ambient 顏色相乘就可以了。把算好的顏色放到貼圖常數中，和物體的貼圖相乘，就完成 ambient 的部分了。這部分得到的結果是這樣：
再來是 diffuse 部分。先把光源的 diffuse 顏色放到貼圖常數中，把貼圖座標轉換的功能開啟，Direct3D 就會把貼圖座標乘上之前設定好的轉換矩陣。因為之前已經把貼圖座標設定成和法向量一樣，所以當物體在轉動時，貼圖座標也要跟著「轉」。指定貼圖為之前產生好的 cubic environment map，再和物體的貼圖相乘，再乘上貼圖常數。最後，用 alpha blending 的方式，把 D3DRS_SRCBLEND 和 D3DRS_DESTBLEND 都設為 D3DBLEND_ONE，就可以和之前的 ambient 結果加起來，得到最後的結果。整體來說，整個動作是：
STAGE 1: TFACTOR * COLOR_TEXTURE
STAGE 2: CUBIC_TEXTURE * COLOR_TEXTURE * TFACTOR
這裡使用的是 two pass 的方式。當然，它其實只用到兩個貼圖，所以，如果 3D 硬體支援適當的功能的話，這兩個動作是可以合在一起的，在 one pass 就可以完成了。
[Part 5]
用同樣的方法，其實還可以做到很多有趣的效果。因為，可以經由調整 cubic enviornment map 的計算法式，來調整打光的計算方式。
一個例子是做出 specular 的效果。在 Direct3D 和 OpenGL 中，計算 specular 的方式都是用 halfway vector 和 normal vector 的內積，再做 n 次方。經由調整 n 的值，可以產生相當不錯的結果。不過，傳統的打光方式，只在每個頂點上面做，所以效果很不好。
不過，前面所說明的方式，同樣可以用在 specular 上面，因為它和 diffuse 一樣，是某個向量和法向量的內積。問題在於，這個「某個向量」不再是光的方向，而是 halfway vector，它是光的向量和觀察者的向量相加後，再 normalize 後的結果。為了簡單起見，我們可以假設觀察者的位置是在無限遠的地方（即 infinite viewer），這樣一來，觀察者的向量就是常數。而光是平行光，也是常數。這樣一來，halfway vector 也就變成常數了。
和前面的例子一樣，先以 <0, 0, -1> 為 halfway vector，算出一個 cubic environment map。這個 cubic environment map 會隨著 n 而不同，所以對不同的 n 都要算出一個不同的貼圖。接著，再算出 halfway vector，把它轉回 <0, 0, -1>，再設定 texture stage，讓它和光的 specular 的顏色相乘。最後，畫出整個物體，用 blending 的方式，把它加到前面已經畫好的 ambient + diffuse 的結果上，就大功告成了。
要注意的是，specular 不受到物體的顏色影響，所以不需要把 specular 再乘上物體本身的貼圖。另外，我們也忽略了物體本身的 specular 顏色，因為這並不常用。這樣的計算所得到的結果如下圖所示：
在上圖中，為了讓 specular 的亮點更為明顯，所以 diffuse 的亮度稍微調低了一些。它所使用的 n 值為 160。
另一個有趣的例子，是做出類似卡通的效果。卡通的顏色比較平面化，往往使用同一個顏色來表示一整個漸層。而且，卡通的顏色通常比較亮一些，在光線照射不到的地方，也很少是全黑的。所以，可以把漸層的顏色改成用一些相同的顏色代替。如下圖所示：
上面的例子中，只使用三種層次來取代原先的 256 種層次。以這種方式來產生 diffuse 的 cubic environment map 之後，再套用到同樣的「膠囊」上面，就會變成：
上圖中，為了讓效果更清楚，所以稍微改變了一下觀察者的位置。其它如光源的位置及模型等都沒有改變。
當然，要真的做到像卡通的效果，還需要為物體加上黑邊。不過，這已經超出了 per pixel lighting 的範圍了。將來有機會再來討論這一方面的技巧。
[Part 6]
在前面所提到的，利用 cubic environment map 來達到 per pixel lighting 的技巧，基本上只適用於平行光的情形。這是因為，在平行光的情形時，對任何 pixel 來說，光源的方向都是一致的。所以，才能夠把原來為雙向量函數的打光方程式，轉換成單向量函數。也因此，才能夠用一個 cubic environment map 來達成這樣的效果。這個方法的主要優點在於，因為它只利用到「查表」這個動作，所以打光函數的變化性很大，可以做出很多奇怪的效果，例如 anisotropic lighting。所謂的 anisotropic lighting 是指物體的表面的反光特性具有某種方向性。
如果光源的方向是隨著 pixel 的位置而變動，例如在點光源（point lighting）的情形下，那這個技巧就沒辦法用了。如果要用查表的方式，那將會需要一個 4D 的貼圖。這是不太可能做到的。當然，如果打光函數具有某些性質，可能可以加以 factorize，將一個 4D 的函數分為兩個 2D 函數的乘積（或是其它運算）。用這種方式，可以做到一些驚人的效果，像是某些 BRDF（Bi-directional Reflectance DistributiFunction）的模型。不過這部分相當複雜，如果以後有機會再討論這方面的東西。
如果光源的方向會隨著 pixel 的位置而改變，或是甚至物體本身的法向量就會改變（例如在 bump mapping 的情形），那就需要一個能在每個 pixel 上計算向量內積的方法，因為 diffuse lighting 就是用向量內積來計算的。在 DirectX 6 之後，Direct3D 開始支援一種新的 texture operation，稱為 DOT3_PRODUCT，它是把一個 pixel 的顏色（由 RGB 三個部分組成）視為一個 3D 向量，並計算兩個「顏色」的內積。不過，一般來說，顏色的各個 component 的範圍，傳統上是 0 ~ 1；但是在做向量內積時，向量的每個 component 的範圍通常需要是 -1 ~ +1。所以，在 DOT3_PRODUCT 這個 operation 中，把顏色的每個 components 經過 X * 2 - 1 這樣的運算，把它的範圍由 0 ~ 1 放大到 -1 ~ +1，進行內積運算後，再把結果切到 0 ~ 1 的範圍內，以符合 diffuse lighting 計算上的需要。
因此，利用 DOT3_PRODUCT 我們就可以在每個 pixel 上面做到向量內積的計算，這樣一來，就離 per-pixel lighting 不遠了。不過，要注意的是用 DOT3_PRODUCT 是沒辦法很容易做出 specular 的效果，這是因為 specular 的計算並不只是向量內積，通常還包含很多麻煩的計算。
不過，現在還有一個麻煩的問題。在 diffuse lighting 的公式中，雖然只是光源向量和法向量的內積，但是公式同時也要求這兩個向量必須是單位向量。而一般情形下，兩個單位向量的線性內插，並不一定會是單位向量，通常會變短。在某些極端的情形下，長度甚至會變成 0。而把一個向量 normalize 成單位向量，是非常複雜的動作，因為它需要先找出向量的長度（需要做平方根的計算），再把向量除以計算出來的長度。雖然一些方法可以簡化計算過程，例如直接計算出向量長度的倒數，再乘上原來的向量，即可避免除法。但是這樣的計算仍然不是可以在每個 pixel 上面進行的。
有些人可能會問，為什麼一定要做 normalization 呢？反正在大部分情形下，內插出來的向量，長度只是稍微短一些而已嘛！但是，實際上並不是這樣。如果稍微做一些計算，一定會發現一件驚人的事實：如果法向量內插後，沒有做 normalization 的話，那麼打光的結果將會和 per-vertex lighting 相差無幾！事實上，如果是在平行光的情形下，可以很容易證明，沒有做 normalization 的結果，會和 per-vertex lighting 完全相同。所以，如果不想做白工的話，要做出正確的 per-pixel lighting，做 normalization 是必要的。
幸運的是，我們並不需要真的去做 normalization，因為這些內量都是內插的結果。所以，只要事先計算出「內插並 normalize」的結果，就可以完全避開 normalization 的問題，把它轉換成查表的問題。這裡又會需要一個重要的貼圖方式，即前面已經用到多次的 cubic environment mapping。因為 cubic environment map 可以看成是一個「方向」的向量函數，即 <x, y, z> 和 <ax, ay, az> 會查到相同的值（如果 a 不是 0）。所以可以做出一個 cubic environment map，把任何非 0 向量 <x, y, z>，使其查到的顏色值，剛好是方向相同的單位向量。當然，顏色值需要做範圍放大的動作，讓範圍從 0 ~ 1 變成 -1 ~ +1。
點光源是另一個問題。如果要正確計算出光源的方向，就需要在每個 pixel 上面做向量的減法，再做 normalization。同樣的，這是不可能的。不過，如果光源的位置夠遠，而且三角面也都夠小的話，可以直接用內插的方式計算每個 pixel 的光源方向。這樣做並不正確，但是通常都夠接近了。
最後是點光源的衰減（attenuation）問題。點光源和平行光源有一個很大的不同，就是空間中的每個點，和光源都會有一個距離。所以，可以把點光源的強度，設定為會隨著距離而衰減。一般來說，要做到 per-pixel 的衰減是很困難的，因為衰減是距離的函數，通常是距離的某種函數的倒數或是類似的東西。這要做到 per-pixel 的計算並不容易。如果要用查表的方式也會有困難，因為空間中的距離是 3D 函數，所以這就表示要做到衰減的函數表，需要 3D 貼圖。這樣的成本就太高了，而且大部分的 3D 晶片也不支援 3D 貼圖。因此，一般來說，衰減只能以 per-vertex 的方式來做。
如果真的要只用 2D 貼圖做到 per-pixel 的衰減，也不是完全沒辦法，只是沒辦法做到完全正確。一個方法是把 3D 的座標投射到 2D 的座標上。這樣的效果會比只用 1D 座標來做，要稍微精確一些。不過，如果效果要好，投射的函式通常會是非線性的，這樣就不容易用硬體加速（一般的硬體 T&L 只能做四維的矩陣運算）。另一個方法，是試圖把衰減函數做 factorize，分解成兩個 2D 函數的乘積。這樣做的效果通常會比較好，但是成本極高，並不一定適用於所有的情形。
到這裡，大部分的問題都已經說得差不多了。接下來就是討論實作上的細節。
[Part 7]
現在我們來討論一個簡單但有效的點光源 per-pixel lighting 手法。
前面已經討論過，要在 per-pixel lighting 裡面做到 specular 並不容易，有許多麻煩的問題需要處理。而且，因為 specular lighting 需要比較複雜的計算（像是計算反射向量，和 n 次方的計算等），所以，要用一般的顯示硬體做到點光源的 specular lighting 並不容易。所以，這裡的討論就以 diffuse lighting 為主。
Diffuse lighting 的計算相當的簡單，因為它只是兩個向量的內積，並把結果限制在一個特定範圍內（0 ~ 1）而已。這正是 DOT_PRODUCT3 這個功能所要達到的動作。當然，這兩個向量都需要 normalize。不過，用前面已經討論過的方法，可以很容易用 cube map 達到 normalize 的動作。
所以，要做到點光源的 diffuse lighting，基本上就是把兩個 cube map 進行 DOT_PRODUCT3 的動作。其中一個 cube map 是代表 normalize 的法向量，另一個則是光源向量。
再來的問題是要產生適當的貼圖座標。對於法向量來說，這相當的容易，因為 Direct3D 8 和 OpenGL 的 ARB_texture_cube_map extension 都能把頂點的法向量轉換成貼圖座標，所以這並不是很困難的事情。光源向量就比較麻煩。不過，對於每個頂點來說，光源向量就是把光源位置向量減去頂點位置向量。因為光源位置對所有的頂點都是一樣的，所以，只要把頂點的位置轉換成貼圖座標，再用貼圖座標的 transformation 就可以做到光源位置減去頂點位置的向量。而 normalize 的動作交給 cube map 就可以了。
下圖是用這個方法所產生的結果：
圖中的白色方塊就是點光源的位置。
在做這樣的運算時，有幾個地方是要特別注意的。第一點是 texture filter 的選擇。因為這個 cube map 的主要目的是要做 normalization，而任何線性內插的動作，都會讓得到的向量稍微變短，而使得結果不精確。所以，在選擇 filter 時，應該要選擇 point sampling，也就是不做任何線性內插的動作。不管是放大或縮小的時候都是這樣。另外，根據經驗，使用 mipmap 的效果並不理想，所以也不應該使用 mipmap。
另外，因為使用 point sampling，所以 cube map 的大小要夠大。考慮到目前大部分的顯示晶片都只支援到 8 bits 的精確度，所以，256x256 的大小應該是夠了。當然 512x512 的 cube map 會更好，只是效率可能會稍差，特別是因為不使用 mipmap，會對效率有一定的影響。再更大的 cube map 可能就不會有明顯的幫助了。
至於 ambient lighting 則很容易，因為它是常數，所以可以直接用 per vertex 的方式來做。只不過要注意 ambient lighting 和 diffuse lighting 是用相加的方式，而不是相乘的方式。因為這很簡單，所以就不再特別舉出例子。
再來是要考慮到 attenuation（衰減）的問題，這是點光源和平行光源的一個很重大的不同處。所謂的 attenuation，就是讓光源的強度，隨著與光源距離拉長，而慢慢變弱的效果。在物理上，如果不考慮介質（空氣）吸收能量的效果的話，那點光源的衰減，應該是和距離的平方成反比。Direct3D 和 OpenGL 都是利用設定一個距離的二次方程式，再以其結果的反比，來處理點光源的衰減問題。
不過，如果要做到 per pixel 的衰減，那就沒辦法用這樣的公式了。因為距離平方反比是一個三維函數，所以，若要用查表法來做的話，就需要 3D 貼圖。目前支援 3D 貼圖的顯示晶片並不多，而且 3D 貼圖所需要的記憶空間實在是太大，用來做衰減實在是太不划算了。
另一個方法是放棄 per pixel 的衰減，而改以 per vertex 的衰減。這很容易做到，因為 per vertex 的衰減是本來就有提供的功能。但是它的效果並不是很理想，特別是在三角面很大的時候。所以，這並不算是一個很好的解決方式。不過，這樣做的效率應該是相當不錯的。
要用一般的 2D 貼圖做到 per pixel 的衰減，另一個方法就是設法把衰減函數分解成兩個分開的函數。但是距離平方反比是無法分解的。所以，只好另外尋找類似，但可以分解的函數。一個很好的例子是指數函數，如下例：
e-x2 - y2 - z2
上面的函數可以分解成兩個函數的乘積，也就是
e-x2 - y2 e- z2
再加上它的表現和一般的倒數函數很接近，所以很適合用來做 per pixel 的衰減。當然，它的衰減會比真正用倒數做的衰減要更快速。
要利用上面的方法來做到衰減，首先，要產生一個 2D 貼圖，可以查出 e-x2 - y2 的結果。不過，這裡有幾個小地方要注意：首先，這個函數的值是永遠大於 0 的。也就是說，不管 x 或 y 的值有多大，函數的值總是比 0 大。不過，因為貼圖的精確度有限（通常是 8 bits），所以，實際情形是當 x2 + y2 大到某個程度時，這個函數的值就已經太小而無法表示了。以 8 bits 為例，當函數值小於 1/512 時，就已經無法表示。也就是說，當 x2 + y2 > 6.3 時，函數值實際上已經是 0。這時，只要配合貼圖座標的 clamp 就可以了。
但是，因為貼圖座標的範圍是 0 ~ 1，而這個函數是對原點對稱的，所以要先把原點移到 <0.5, 0.5> 這個位置，再配合貼圖座標的 clamp 才會得到正確的結果。另一個方法是在 OpenGL 下使用 ATI_texture_mirror_once 這個 extension 也可以達到對原點對稱的貼圖。不過支援這個 extension 的顯示晶片似乎並不多。
建好貼圖後，和前面的點光源一樣，利用同樣的方式，產生光源向量後，先用 <x, y> 查出第一個函數值，再用 <z, 0> 查出第二個函數值，把兩個值相乘（使用 modulate）就可以了。如果已經把原點移到 <0.5, 0.5>，那就需要移動一下，這並不太困難。另外，如果要調整衰減的程度，可以把貼圖座標各乘上一個常數，常數的大小和希望的衰減程度有關。最後，把衰減的結果，和前面的 diffuse 計算結果相乘，就可以了。當然這總共需要四個貼圖動作，所以，如果顯示晶片只支援兩個貼圖的話，就需要分兩個 pass 來畫。
下面是點光源衰減的例子：
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| 沒有衰減 |
有衰減 |
可以看到，靠右邊較遠的牆，在沒有衰減的情形下，顯得相當的亮。但是，在有衰減的情形下，則會變暗。很明顯的，有衰減的情形看起來比較真實。
最後是加上物體的貼圖。這部分不難，把貼圖和前面畫好的結果相乘，就得到最後的結果了。同樣的，如果顯示晶片不支援這麼多貼圖的話，就需要再用額外的 pass 來畫。下面是最後完成的例子：
測試程式可以在這裡下載。
